si una función integrable de variable real es no negativa y continua en un punto, su integral es positiva

Sea $f$ una función integrable y no negativa en un intervalo $[a,b]$ . Probar que si $f$ es continua en un punto $c \in [a,b]$ y $f(c)>0$ entonces $\int_{a}^{b}f>0$ .

Para demostrar este ejercicio vamos a fijarnos en algunos detalles del enunciado. Nos dice que $f$ es continua en $c$ . Este es un detalle clave para resolver el ejercicio. Pues mediante la definición de continuidad deberíamos averiguar características de la función $f$ que nos permitan llegar a la implicación que buscamos ( $\int_{a}^{b}f>0$ ).

Empezemos pues recordando la definición formal de continuidad.

Definición. Sea $f$ una función real de variable real, es decir, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Y estando $f$ definida al menos en un entorno $U$ de un punto $c \in \mathbb{R}$ . Decimos que $f$ es continua en el punto $c$ si existe el límite de $f$ en $c$ y dicho límite es igual a $f(c)$ , es decir, si

(1) $\begin{equation*} \lim_{x \to c}f(x)=f(c) \end{equation*}$

La igualdad 1 , es equivalente a decir:

Para cualquier número real positivo mayor que cero, que le llamamos $\epsilon$ , existe otro número real positivo mayor que cero que le llamamos $\delta$ tal que si $x$ es un punto cualquiera del dominio que cumple que $\left | x-c \right |<\delta$ , entonces $\left | f(x)-f(c) \right |<\epsilon$ .

En notación más compacta 1 queda como:

Ya conocemos la definición de función continua en un punto, ¡vallamos a sacarle provecho!.

Como $f$ es continua en $c$ (por el enunciado) podemos elegir un $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ cualquiera y automáticamente existirá al menos un $\delta>0$ tal que si $|x-c|<\delta \Rightarrow \left | f(x)-f(c) \right |<\epsilon$ .

Pero.. ¿Qué $\epsilon$ elegimos? Como veremos no vamos a elegir un número positivo al azar sino uno que nos de juego.

Tomemos $\epsilon:=\frac{f(c)}{2}$ , pues por el enunciado $f(c)>0$ por tanto $\frac{f(c)}{2}>0$ .

Entonces sabemos que existirá un $\delta \in \mathbb{R}^+$ tal que si $\left | x-c \right |<\delta$ para $x \in [a,b]$ entonces $\left | f(x)-f(c) \right |<\epsilon$ .

Ahora bien,

$$\left | f(x)-f(c) \right |<\epsilon \Leftrightarrow -\epsilon<f(x)-f(c)<\epsilon\Leftrightarrow$

$-\epsilon<f(x)-f(c) \wedge f(x)-f(c)<\epsilon$

Utilizamos la primera desigualdad $-\epsilon<f(x)-f(c)$ , sustituimos $\epsilon$ por su valor:

$-\frac{ f(c) }{2}<f(x)-f(c)$

Multiplicamos por 2 en ambos lados de la desigualdad.

$-2\frac{ f(c) }{2}<2(f(x)-f(c)) \Leftrightarrow$

$- f(c)<2f(x)-2f(c) \Leftrightarrow$

$f(c)<2f(x) \Leftrightarrow \frac{f(c)}{2}<f(x)$

Definimos el conjunto

$M:=\{x\in[a,b]: \left | x-c \right |<\delta\}\equiv \left \{x\in[a,b]: (-\delta+c,\delta+c)\}$

y el conjunto

$F:= \{x\in[a,b]: \left \frac{f(c)}{2}<f(x) \}$

Por lo que hemos visto hasta ahora sabemos que $M \subset F$ . Pero obviamente no podemos afirmar que $F \subset M$ .

Pero.. ¡no nos será problema!, queremos aprovechar las características de $F$ ya que nos da pistas de como se comporta $f$ en unos determinados puntos.

Notemos que gracias a $M$ hemos demostrado que el conjunto $F$ es no vacío, pues incluye almenos a $M$ .

Nuestro objetivo ahora, es crear un intervalo cerrado (subconjunto de $[a,b]$ ) que le llamamos $[\alpha,\beta]$ que contenga un entorno de $M$ . Además le añadiremos también el punto $c$ que como sabemos por la definición de $M$ , $c\notin M$ , pues $\delta>0$ .

Tenemos infinitas maneras de construir $[\alpha,\beta]$ , dependiendo del valor $\delta'$ que tomemos perteneciente a $(0,\delta)$ . Es decir, este entorno de $M$ será del tipo $(c-\delta',c+\delta')$ .

$c \in F$
$(c-\delta',c+\delta') \subset M \subset F$

Creamos pues este intervalo cerrado como unión de dos subconjuntos de $F$ , $[\alpha,\beta] := (c-\delta',c+\delta')\cup \{c\}$ . Por tanto $[\alpha,\beta] \in F$ .

Hemos demostrado que existe un subintervalo del dominio de $f$ que está contenido en $F$ . Como lo que hemos construido ( $[\alpha,\beta]$ ) es un intervalo, entonces podremos integrar $f$ entorno ese intervalo en particular. Notemos que si hubieramos construido un conjunto de puntos de $F$ que no fuera un intervalo, no podríamos integrar a lo largo de los puntos de ese conjunto, de ahí la gracia de construir un subconjunto de $F$ con la propiedad de ser intervalo.

También podriamos preguntar-nos por qué tanta complicación en este intervalo $[\alpha,\beta]$ , ¿no sería más fácil coger directamente $M$ ?, pues no, debido a que $M$ es un intervalo abierto y la integral de Riemann está definida en intervalos cerrados.

Ahora bien, ¡vayamos a integrar!

Haremos uso de la propiedad de las integrales “La aditividad respecto del intervalo”. Tenemos:

(2) $\begin{equation*} \int_{a}^{b}f\,\mathrm{d}x=\int_{a}^{\alpha}f\,\mathrm{d}x+\int_{\alpha}^{\beta}f\,\mathrm{d}x+\int_{\beta}^{b}f\,\mathrm{d}x \end{equation*}$

Nuestro objeto a demostrar desde el inicio era ver que la integral de $f$ en $[a,b]$ es positiva, utilizaremos un resultado útil para acotar 2.

Este resultado es el que dice ” Si $f$ es integrable en $[a,b]$ y $f\ge 0$ entonces la integral en $[a,b]$ es no negativa”.

Pues bien, podemos hacer uso de esta proposición pues nuestra $f$ por el enunciado es integrable y no negativa es decir $f\ge 0$ , entonces tenemos que $\int_{a}^{b}f\,\mathrm{d}x \ge 0$ . Pero queremos probar que $\int_{a}^{b}f\,\mathrm{d}x > 0$ .

De momento tenemos que $\int_{a}^{\alpha}f\,\mathrm{d}x \ge 0$ , y $\int_{\beta}^{b}f\,\mathrm{d}x \ge 0$

Como $f(x)>\frac{f(c)}{2}$ también podemos decir $f(x) \ge \frac{f(x)}{2}$ y como tanto $f$ como $f(c)$ son funciones integrables en $[a,b]$ y por tanto también en $[\alpha,\beta]$ entonces se cumplirá la desigualdad $\int_{\alpha}^{\beta} \frac{f(c)}{2}\mathrm{d}x \le \int_{\alpha}^{\beta} f (x)\mathrm{d}x$ . Por lo tanto tenemos que:

$\int_{a}^{\alpha}f\,\mathrm{d}x \ge 0$
$\int_{\alpha}^{\beta} f (x)\mathrm{d}x \ge \int_{\alpha}^{\beta} \frac{f(c)}{2}\mathrm{d}x$
$\int_{\beta}^{b}f\,\mathrm{d}x \ge 0$

Sumamos las tres desigualdades, recordemos que la suma de los términos del lado izquierda es $\int_{a}^{b}f\,\mathrm{d}x$ (2).

$\int_{a}^{b}f\,\mathrm{d}x\geq 0+\int_{\alpha}^{\beta}\frac{f(c)}{2}\mathrm{d}x+0 =\frac{f(c)}{2}(\beta-\alpha)>0$

Y hemos probado que $\int_{a}^{b}f\,\mathrm{d}x> 0$ pues $\frac{f(c)}{2}(\beta-\alpha)$ es un producto de dos numeros estrictamente positivos.

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