Sea una función integrable y no negativa en un intervalo
. Probar que si
es continua en un punto
y
entonces
.
Para demostrar este ejercicio vamos a fijarnos en algunos detalles del enunciado. Nos dice que es continua en
. Este es un detalle clave para resolver el ejercicio. Pues mediante la definición de continuidad deberíamos averiguar características de la función
que nos permitan llegar a la implicación que buscamos (
).
Empezemos pues recordando la definición formal de continuidad.
Definición. Sea una función real de variable real, es decir,
. Y estando
definida al menos en un entorno
de un punto
. Decimos que
es continua en el punto
si existe el límite de
en
y dicho límite es igual a
, es decir, si
(1)
La igualdad 1 , es equivalente a decir:
Para cualquier número real positivo mayor que cero, que le llamamos , existe otro número real positivo mayor que cero que le llamamos
tal que si
es un punto cualquiera del dominio que cumple que
, entonces
.
En notación más compacta 1 queda como:
Ya conocemos la definición de función continua en un punto, ¡vallamos a sacarle provecho!.
Como es continua en
(por el enunciado) podemos elegir un
cualquiera y automáticamente existirá al menos un
tal que si
.
Pero.. ¿Qué elegimos? Como veremos no vamos a elegir un número positivo al azar sino uno que nos de juego.
Tomemos , pues por el enunciado
por tanto
.
Entonces sabemos que existirá un tal que si
para
entonces
.
Ahora bien,
Utilizamos la primera desigualdad , sustituimos
por su valor:
Multiplicamos por 2 en ambos lados de la desigualdad.
Definimos el conjunto
y el conjunto
Por lo que hemos visto hasta ahora sabemos que . Pero obviamente no podemos afirmar que
.
Pero.. ¡no nos será problema!, queremos aprovechar las características de ya que nos da pistas de como se comporta
en unos determinados puntos.
Notemos que gracias a hemos demostrado que el conjunto
es no vacío, pues incluye almenos a
.
Nuestro objetivo ahora, es crear un intervalo cerrado (subconjunto de ) que le llamamos
que contenga un entorno de
. Además le añadiremos también el punto
que como sabemos por la definición de
,
, pues
.
Tenemos infinitas maneras de construir , dependiendo del valor
que tomemos perteneciente a
. Es decir, este entorno de
será del tipo
.
Creamos pues este intervalo cerrado como unión de dos subconjuntos de ,
. Por tanto
.
Hemos demostrado que existe un subintervalo del dominio de que está contenido en
. Como lo que hemos construido (
) es un intervalo, entonces podremos integrar
entorno ese intervalo en particular. Notemos que si hubieramos construido un conjunto de puntos de
que no fuera un intervalo, no podríamos integrar a lo largo de los puntos de ese conjunto, de ahí la gracia de construir un subconjunto de
con la propiedad de ser intervalo.
También podriamos preguntar-nos por qué tanta complicación en este intervalo , ¿no sería más fácil coger directamente
?, pues no, debido a que
es un intervalo abierto y la integral de Riemann está definida en intervalos cerrados.
Ahora bien, ¡vayamos a integrar!
Haremos uso de la propiedad de las integrales “La aditividad respecto del intervalo”. Tenemos:
(2)
Nuestro objeto a demostrar desde el inicio era ver que la integral de en
es positiva, utilizaremos un resultado útil para acotar 2.
Este resultado es el que dice ” Si es integrable en
y
entonces la integral en
es no negativa”.
Pues bien, podemos hacer uso de esta proposición pues nuestra por el enunciado es integrable y no negativa es decir
, entonces tenemos que
. Pero queremos probar que
.
De momento tenemos que , y
Como también podemos decir
y como tanto
como
son funciones integrables en
y por tanto también en
entonces se cumplirá la desigualdad
. Por lo tanto tenemos que:
Sumamos las tres desigualdades, recordemos que la suma de los términos del lado izquierda es (2).
Y hemos probado que pues
es un producto de dos numeros estrictamente positivos.
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