Determinar el número de elementos de un conjunto formado por funciones continuas y derivables cumpliendo un seguido de restricciones

Vamos a ver un ejercicio del tema Integral de Riemann, de Cálculo en una variable.

Sea $A=\{{f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua y derivable en $(0,+\infty)$ , $f(x)\neq 0,\, \forall x\in (0,+\infty)$ y $f^3(x)=3\int_{0}^{x}f^2(t)dt \}$ . ¿Cuántos elementos tiene $A$ ?

Si usamos la siguiente regla de derivación

$(f(x)^n)'=nf(x)^{n-1}f'(x)$

para nuestro caso tendremos que

$(f^3(x))'=3f^2(x)\cdot f '(x)\;\;\;\;\textcolor{blue}{(1)}$

Además por el 1er Teorema fundamental del Cálculo sabemos que si $f$ es continua y derivable en $(0,+\infty)$ entonces

$(f^3(x))'=3\left( \int_{0}^{x}f^2(t)dt \right)'=3f^2(x)\;\;\;\;\textcolor{blue}{(2)}$

Igualando (1) con (2) tenemos:

$3f^2(x)\cdot f '(x)=3f^2(x) \Rightarrow f'(x)=1$

Si $f'(x)=1\Rightarrow f(x)=x+C,\,x\in\mathbb{R}$ ya que $\int 1\,dx=x+C$

Así pues de momento $A=\{x+C,\:C\in\mathbb{R}\}$ que vendría a ser un conjunto con infinitas funciones, pues $C$ es un número real cualquiera.

Ahora bien, recordando algunas propiedades de las integrales que nos pueda aportar información, nos será útil la siguiente. $\int_{a}^{a}f\,dx=0$ .

Haciendo uso de ella, tendremos que $f^3(0)=3\int_{0}^{0}f^2(t)dt=3\cdot0=0$ es decir $f(f(f(0)))=0$ .

Tomando el cambio de variable $k=f(0)$ , nos queda $f(f(k))=0$ , y tomando otro cambio de variable $q=f(k)$ vemos que $f(q)=0$ . Pero por hipótesis sabemos que $f(x)>0,\, \forall x>0$ y como el dominio de $f$ es $[0,+\infty)$ sólo $q$ puede valer cero. Entonces $f(0)=0$ .

Recapitulando $f(x)=x+C$ , para $x=0$ tenemos $f(0)=0+C=0\Rightarrow C=0$ . Por tanto en el conjunto $A$ sólo pertenece la función $f(x)=x+C$ , con $C=0$ . Es decir, $A$ es un conjunto con un solo elemento, $A=\{\{f(x)=x\}\}$ .

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