La serie geométrica

La serie geométrica de razón $r \in \mathbb{R}$ y constante $a$ es la siguiente suma infinita:

$ar^0+ar^1+ar^2+\cdots +ar^n+\cdots$

Esta serie converge si y sólo si $|r|<1$ y su suma es:

$\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}=\frac{a}{1-r}$

Si $r \ge 1$ , la serie es divergente.
Si $r<-1$ la serie oscila entre $+\infty$ y $-\infty$
Si $r=-1$ la serie oscila entre 0 y $a$

Demostración.

Llamemos $s_n$ a la suma n-ésima de la serie $\sum_{n=0}^{\infty}ar^n$

Así

$s_n= \sum_{n=0}^{n}ar^n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n$

Multiplicamos $s_n$ por $r$ :

$r\cdot s_n= ra+ar^2+ar^2+\cdots+ar^{n+1}$

Observamos que $r\cdot s_n$ contiene todos los sumandos de $s_n$ excepto el primer término $a$ y añade uno nuevo, el término $ar^{n+1}$ .

Es decir $r\cdot s_n= s_n -a+ar^{n+1}$ . Hemos conseguido una ecuación para $s_n$ así pues despejando:

$a-ar^{n+1}=s_n- r\cdot s_n \Rightarrow a(1-r^{n+1})=s_n(1-r) \Rightarrow s_n=\frac{ a(1-r^{n+1}) }{ (1-r) }$

Siempre que $r \neq 1$ , ya que de lo contrario si $r=1$ , entonces $s_n$ no estaría definida. Y precisamente queremos una expresión bien definida para saber la suma $s_n$ en todo momento, es decir $\forall n\in \mathbb{N}$ .

Hemos conseguido expresar los $n$ sumandos de la suma con una ecuación de forma general. Esto viene fantástico, ya que la serie es el límite de $s_n$ cuando $n\to\infty$ y como hemos conseguido una expresión para $s_n$ sólo basta calcular dicho limite.

$\sum_{n=0}^{\infty}ar^n:= \lim_{n\to\infty} s_n=a\lim_{n\to\infty}\frac{1-r^{n+1}}{1-r}=a\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{r}-\frac{r^{n+1}}{r}}{\frac{1-r}{r}}= a\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{r}-r^n}{\frac{1-r}{r}}=$

$=a\frac{\frac{1}{r}- \lim_{n\to\infty} r^n}{\frac{1-r}{r}} \stackrel{|r|<1}{=} a\frac{\frac{1}{r}- 0}{\frac{1-r}{r}} =\frac{a}{1-r}$

Donde como podeis observar se ha echo uso de la restricción $|r|<1$ ya que de otro modo $\lim_{n\to\infty} r^n$ no es finito.

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